命題３０
もし、２つの数が互いにかけられてある数を作り、任意の素数がその積を割り切るならば、その数は元の数の１つを割り切る。
２つの数AとBを互いにかけられてCを作り、任意の素数DがCを割り切るとせよ。
Dは数AかBの１つを割り切ると主張する。
DはAを割り切らないとせよ。
今、Dは素数である。
それゆえに、AとDは互いに素である。
DがCを割り切ったものがEの中の単位と同じだけあるとせよ。
そのとき、DはCを割り切った商はEの中の単位であるので、それゆえに、DはEをかけられてCを作る。
加えて、AはBをかけられてCを作る。
それゆえに、DとEの積は、AとBの積と等しい。
それゆえに、DはAに対して、BはEに対する。
しかし、DとAは互いに素で、互いに素である数は最小であり、最小の数は同じ比をもつ数を割り切り、大きいほうは大きいほうを、小さいほうは小さいほうを、つまり、前項は前項を、後項は後項を割り切る。
それゆえに、DはBを割り切る。
同様に、もし、DがBを割り切らないならば、DはAを割り切ることも示せる。
それゆえに、Dは数AかBの１つを割り切る。
それゆえに、もし、２つの数が互いにかけられてある数を作り、任意の素数がその積を割り切るならば、その数は元の数の１つを割り切る。